בגרות במתמטיקה 3 יחידות

מבנה בחינת הבגרות במתמטיקה 3 יחידות

בחינת הבגרות במתמטיקה 3 יחידות מחולקת לשני חלקים ושלושה שאלונים. החלק הראשון כולל שני שאלונים ומשרד החינוך ממליץ לגשת אל שניהם בסוף יא. חלק מבתי הספר נוהגים "להעביר" אחד מהשאלונים אל מועד החורף של כיתה יב – משרד החינוך טוען שזה לא יעיל.

שאלון ראשון 801
- משך הבחינה שעה ורבע.
- הציון בשאלון הוא 25% מהציון הסופי בבגרות במתמטיקה.
- הבחינה היא במבנה הצבירה – יש רשות לענות על 6 שאלות כאשר כל שאלה שווה 25 נקודות. במידה והתלמיד מקבל מעל 100 הציון בבחינה הוא 100.
- הבחינה מורכבת מחמישה חלקים :
1) משוואות, פירוק לגורמים, שינוי נושא הנוסחה, בעיות מילוליות (1-2 שאלות)
2) בניית גרפים, קריאת גרפים, סדרות חשבוניות (1-2 שאלות).
3) גיאומטריה אנליטית, משפט פתגורס (1 שאלה)
4) טיגונומטריה במישור (1 שאלה).
5) סטטיסטיקה והסתברות (1-2 שאלות).

שאלון שני 802
- משך הבחינה שעה וחצי.
- הציון בבחינה הוא 35% מהציון בבגרות במתמטיקה.
- הבחינה היא במבנה הצבירה – יש רשות לענות על 6 שאלות כאשר כל שאלה שווה 25 נקודות. במידה והתלמיד מקבל מעל 100 הציון בבחינה הוא 100.
- הבחינה מורכבת מארבעה חלקים :
1) אלגברה – כולל קריאת גרפים (1-2 שאלות).
2) חזקות, סדרה חשבונית, סדרה הנדסית, בעיות גידול ודעיכה, דיסקרטיות (1-2 שאלות).
3) טריגונומטריה במישור ובמרחב (1-2 שאלות).
4) סטטיסטיקה והסתברות, התפלגות נורמלית) (1-2 שאלות).

שאלון שלישי 803
- משך הבחינה שעתיים.
- הציון הוא 40% מהציון בבגרות במתמטיקה.
- הבחינה היא אינה במבנה הצבירה. יש לבחור 4 מתוך 6 שאלות. כל שאלה 25 נקודות.
- הבחינה מורכבת משלושה חלקים :
1) בעיות מילוליות (1-2 שאלות).
2) גיאומטריה אנליטית: אורך קטע, אמצע קטע, ישרים, תנאי ניצבות, מעגל, משיק למעגל בנקודה על המעגל (1-2 שאלות).
3) חשבון דיפרציאלי ואינטגרלי (2-4 שאלות).

משוואות

משוואות עם נעלם אחד

עליכם לדעת לפתור משוואות עם נעלם אחד מכל הסוגים. כולל משוואות עם משתנה במכנה.

במשוואות עם משתנה במכנה עליכם לשים לב שבדקתם את תחום ההגדרה ושיביטלתם פתרונות שאינם נמצאים בתחום ההגדרה.

לדעת לעשות שימוש בטכניקות פירוק לגורמים. כולל הוצאת גורם משותף, נוסחת הכפל המקוצר a2-b2=(a-b)*(a+b(.
הנוסחה לדו איבר בריבוע (a+b)2= a2 + 2ab+ b2).

דוגמא לתרגיל הכולל את האלמנטים הללו :

פתור את התרגיל

משוואה עם נעלם אחד 3 יחידות מתמטיקה

נבצע פירוק לגורמים על פי הנוסחה לדו איבר בריבוע

פירוק לדו איבר בריבוע במתמטיקה

נכפיל במכנה המשותף ונפתור את המשוואה

 

חשוב מאוד בסוף התרגיל להציב את הפתרון במשוואה ולבדוק שהפתרונות לא מאפסים את המכנה. (אם הם כן מאפסים יש לפסול את הפתרון).

משוואות עם שני נעלמים

בחלק זה בבחינת הבגרות עליכם לדעת לפתור שתי משוואות עם שני נעלמים ממעלה ראשונה או שניה. כאשר המשתנה יכל להיות במכנה או במונה.

מתי פותרים בשיטת ההצבה ומתי בשיטת השוואת מקדמים ? ראשית מבחינה מתמטית מותר לפתור כל משוואה באיזה דרך שרוצים ואין בכך שגיאה. אבל מבחינת הנוחות וקלות הפתרון יש הבדל.

בשיטת השוואת המקדמים נשתמש כאשר המבנה של המשוואות זהה (למשל בשתיהן המשתנה X נמצא בריבוע, בשתיהן המשתנים נמצאים במכנה). לעומת זאת בשיטת השוואת המקדמים נשתמש כאשר המבנה של המשוואות אינו זהה וגם קל לחלץ את המשתנה ממשוואה אחת.

דוגמאות למשוואות שעדיף לפתור בשיטת השוואת מקדמים.

משוואות השוואת מקדמים

דוגמאות למשוואות שעדיף לפתור בשיטת ההצבה.

משוואות עם שני נעלמים שעדיף לפתור בשיטת ההצבה

משוואות עם פרמטר
בחלק זה תצטרכו לפתור משוואות עם פרמטר + לזהות את מספר הפתרונות האפשריים עבור כל ערך של פרמטר. כמו כן תצטרכו לדעת להשתמש בטכניקה של הוצאת גורם משותף.

פרמטר – הוא מספר אשר אנו לא יודעים את ערכו.

בד"כ ישאלו אותכם :

1) עבור אלו ערכים של הפרמטר המשוואה אינה מוגדרת ?
תשובה : עבור ערכי הפרמטר שמאפסים את המכנה.
2) מה פתרון של המשוואה ?
תשובה : משוואה עם פרמטר פותרים כמו משוואה רגילה. רק שהפתרון הסופי אינו מספר אלא ביטוי הכולל פרמטר.

שני הסעיפים הבאים קשים יותר.
3) עבור אלו ערכים של הפרמטר למשוואה אין פתרון ?
תשובה : למשוואה אין פתרון עבור ערכי פרמטר שבהם המשוואה אינה מוגדרת, או ערכי פרמטר שמבטלים את המשתנה ונותנים פתרון שלא יכול להתקיים (כפי שיודגם בהמשך).
4) עבור אלו ערכים למשוואה אינסוף פתרונות ?
תשובה : למשוואה אינסוף פתרונות עבור ערכי פרמטר שעבורם המשתנה מתבטל ומתקבלת משוואה הנכונה תמיד. (כפי שיודגם בהמשך).

כיצד פותרים את סעיפים 3 ו 4 ?

א) המפתח לפתרון הסעיפים הללו הוא ההבנה שלמשוואה יש אינסוף פתרונות או אין פתרון כאשר המשתנה מתבטל – נעלם מהמשוואה.
ב) דבר זה קורה כאשר המקדם של המשתנה הוא 0.
ג) לכן מוצאים עבור אלו ערכי פרמטר המקדם של המשתנה הוא 0.
ד) מציבים את הערכים במשוואה ובודקים האם מתקבלת משוואה הנכונה תמיד (אינסוף פתרונות). או שאינה נכונה אף פעם (אף פתרון).

תרגיל

א) פתור את המשוואה : (a2-25)*x= a+5)

ב) מצא האם ומתי למשוואה אינסוף פתרונות או אין פתרון.

א) נפתור את המשוואה ונשתמש בנוסחת הכפל המקוצר.

פתרון משוואה עם פרמטר 3 יחידות מתמטיקה

ב) כפי שאמרנו למשוואה יש אינסוף / אף פתרון כאשר המקדם של המשתנה שווה ל – 0. במקרה שלנו המקדם של המשתנה הוא:
a2-25=(a-5)*(a+5(.
הביטוי הזה מתאפס כאשר a=5 או a=-5.

נציב a=5 במשואה ונקבל :

משוואה עם פרמטר ללא פתרון

הביטוי 0=10 לא מתקיים אף פעם לכן עבור a=5 אין למשוואה אף פתרון.

נציב a=-5 במשוואה ונקבל :

משוואה עם פרמטר אינסוף פתרונות

הביטוי 0=0 מתקיים תמיד לכן עבור a=-5 למשוואה יש אינסוף פתרונות.
פרבולה

בחלק זה תצטרכו להבין את התיאור הגרפי של הפרבולה למצוא את קודקוד הפרבולה, תחומי עליה וירידה, חיתוך עם הצירים ולמצוא מתי ערכי הפרבולה חיוביים או שליליים. כמו כן תצטרכו לדעת לחשב שטחים בעזרת משוואת הפרבולה ולעבוע עם משוואות פרמטריות של פרבולה.

תכונות פרבולה

1) התיאור הגרפי של הפרבולה

התיאור המתמטי של פרבולה הוא של משוואה ריבועית ax2+bx+c=0

א) קודקוד הפרבולה
עבור פרבולה שהפרמטרים שלה הם a,b,c (כמודגם) ערך ה – x של הקודקוד נתון על ידי :

משוואת קודקוד פרבולה

למשל, מצא את שיעורי קודקוד הפרבולה שמשוואתה 5×2- 4x +3=0

xקודקוד= 4/10 = 0.4

נציב x=0.4 במשוואה ונקבל את ערכי ה -y של הקודקוד.

yקודוקוד= 2.2

ב) מינימום מקסימום של פרבולה
לאחר שמצאנו את הקודקוד הצורה שהפרבולה תלויה בעיקר במקדם a של x2. אם a>0 אז זו פרבולה רגילה ויש לה נקודת מינימום. אם a<0, זו פרבולה הפוכה ויש לה נקודת מקסימום. (אם a=0 זו לא פרבולה אלא קן ישר).

ג) עליה וירידה של הפרבולה
פונקציה נקראת עולה בתחום שבו עבור ערכי x עולים מתקבלים ערכי y עולים. ויורדת בתחום שבו עבור ערכי x עולים מתקבלים ערכי y יורדים.

מבחינה ויזואלית כאשר מסתכלים על גרף פונקציה / פרבולה משמאל לימין והגרף עולה אז הפונקציה עולה. כאשר מסתכלים משמאל לימין והגרף יורד אז הפונקציה יורדת.

ניתן לראות בשרטוט כאשר לפרבולה נקודת מינימום הפרבולה עולה מימין לקודקוד הפרבולה ויורדת משמאל לקודקוד הפרבולה. עבור פרבולה עם נקודת מקסימום להיפך.

פרבולה עם נקודת מינימום תחומי עליה וירידה פרבולה עם נקודת מקסימום תחומי עליה וירידה
פרבולה עם נקודת מינימום פרבולה עם נקודת מקסימום
ד) תחומי חיוביות ושליליות של פרבולה

פרבולה חיובית כאשר הגרף שלה נמצא מעל ציר ה – x ושלילית כאשר הגרף שלה נמצא מתחת לציר ה -x. כדי לדעת מתי זה קורה עלינו למצוא את נקודת החיתוך עם ציר ה – x.

כיצד מוצאים את נקודת החיתוך עם ציר ה – x ? מציבים במשוואת הפרבולה y=0.
תרגיל מסכם : עבור הפרבולה x2 + 5x + 6=y מצא את שיעורי הקודקוד , את נקודות החיתוך עם ציר ה x וקבע מתי הפרבולה חיובית ושלילית.

א) ערך ה – x של קודקוד הפרבולה נתון על ידי המשוואה xקודקוד = -5/2 = -2.5

נציב x=-2.5 במשוואת הפרבולה ונקבל את הערך של y.

yקודקוד = (-2.5)2 + 5*-2.5 + 6 = -0.25

צורת הפרבולה : המקדם של x2 הוא 1 ולכן זו פרבולה עם נקודת מינימום.

נקודת החיתוך עם ציר ה -x :

על מנת למצוא נציב y=0 במשוואת הפרבולה ונפתור :

x2 + 5x + 6=0
(x+2)*(x+3)=0)

הפתרונות הם (כלומר נקודות החיתוך) :
x=-2
x=-3
עבור שני הערכים מתקיים בנקודת החיתוך y=0.

נצייר את הפרבולה ומהגרף נילמד על תחומי עליה וירידה ותחומי חיוביות ושליליות.

תחומי חיוביות ושליליות בפרבולה

 

ניתן לראות שהפרבולה שלילית כאשר x<-2 וגם x>-3. וחיובית כאשר x>2 או x<-3.
הפרבולה יורדת כאשר x<-2.5 ועולה כאשר x>-2.5
משוואות פרבולה עם פרמטרים

לפעמים יתנו לכם במבחן הבגרות משוואה של פרבולה עם פרמטר וסעיף בשאלה הוא לזהות את ערך הפרמטר.

למשל נתונה הפרבולה x2 -8 +c ונתון שהיא חותכת את את ציר ה – y בנקודה 0,5. מצא את c.

פתרון

נציב במשוואת הפרבולה x=0 y=5

נקבל :
5=02-8+c.

c=13.
חישוב שטחים בעזרת משוואת הפרבולה

בחלק זה תצטרכו להשתמש לחשב שטחים של צורות שונות בעזרת נקודות שבדרך כלל ימצאו על משוואת הפרבולה.

חזקות ומשוואות מערכיות ללימוד יסודי ערך חזקות

קודם כל עליכם לללמוד את חוקי החזקות , אף אחד לא אוהב ללמוד בעל פה אבל במקרה הזה אין ברירה.

יש שלושה סוגי תרגילים נפוצים בסעיף זה בבגרות, התרגילים לא חייבים להופיע כשאלה נפרדת אלא בד"כ יופיעו כסעיפים שונים המשלימים לאותה שאלה :

1) תרגיל מסוג : נתון 5x=12 חשב את הערך של 5-3x

פתרון :

5-3x=12-3=1/123
2) מה יותר גדול 3200 או 9100 ?

יש שתי דרכים לגשת לתרגילים מסוג זה. דרך אחת היא להשוות את בסיס החזקה של שני הביטויים ואז לדעת מה יותר גדול על פי מונה החזקה.

דרך שניה – לעיתים לא ניתן להשוות את בסיס החזקה ואז מה שצריך הוא להשוות את מונה החזקה.ואז לדעת מה יותר גדול על פי בסיס החזקה.

פתרון
במקרה זה ניתן להשוות את בסיסי החזקה. זה לא חשוב אם מגדילים את הבסיס הקטן ל – 9 או מקטינים את הבסיס הגדול ל -3.

על פי חוקי החזקות :
9100=32*100= 3200

קיבלנו ששני הביטויים שווים.
3) הסוג השלישי של התרגילים הוא משוואות מערכיות. משוואה מעריכית היא משוואה שבה המשתנה מופיע במעריך החזקה.

על מנת לפתור משוואה מעריכית בשלב הראשון עלינו לפשט את התרגיל ולהביא אותו למצב שבו כל בסיסי החזקה יהיו שווים וגם כל מונה החזקה יהיו שווים.
פתור את התרגיל 8x+1 + 4x*2x+2=96
על מנת בשלב הראשון עלינו לפשט את התרגיל ולהביא אותו למצב שבו כל בסיסי החזקה יהיו שווים (במקרה הזה אנו יכולים להפוך את כל הבסיסים ל 8) וגם כל מונה החזקה יהיו שווים (במקרה הזה נגרום לכך שהם יכלולו X בלבד).

8x+1 + 4x*2x+2=96
נגרום לכך שכל מונה החזה יהיו שווים ויהיו שווים ל -X.
8x*8+4x2x*4 = 96
נהפוך את כל בסיסי החזקה לשווים ל – 8.
8x*8+(4*2)x*4=96
8x*8+8x*4=96
8x*12=96
נחלק את שני אגפי המשוואה ב – 12
8x=8
נובע מיכך

x=1

בתרגילים מורכבים יותר של משוואות מעריכיות בסוף לא נגיע לפתרון ברור כמו
8x=8
אלא נגיע למשוואה מהצורה

82x – 6*8x+ 9=0

משוואה מהסוג הזה נוכל להפוך למשוואה ריבועית אם נגדיר 8x=t ונציב.

נציב במשוואה את t ונקבל

t2-6t+9=0

הפתרון של המשוואה הוא t=3 כלומר 8x=3.

טריגונומטריה

על מנת לפתור את התרגילים בטריגונומטריה עליכם להכיר את הפונקציות sin, cos, tg ולדעת איך להשתמש הפונקציות הללו במשולש ישר זוויות, משולש שווה שוקיים / שווה צלעות, משולש כללי, טרפז שווה שוקיים / ישר זווית / כללי, מעגל ומצולע משוכלל.

פונקציות הטריגונומטריות

הפונקציות הטריגונומטריות שאתם צריכים להכיר הם sin, cos, tg.

הפונקציות הטריגונומטריות הללו מבטאות קשר בין זוויות לצלעות במשולש ישר זווית. הערכים שהפונקציות נותנות תקפים במשולש ישר זווית בלבד, לא תוכלו להשתמש בהם בצורות אחרות.

הגדרת הפונקציות הטריגונומטריות

הפונקציות הטריגונומטריות מוגדרת במשולש ישר זווית.

הגדרת הפונקציות הטריגונומטריות
טרפז

על מנת לפתור שאלות בטריגונומטריה בטרפז עליכם :

1) להבין שעל מנת להשתמש בפונקציות הטריגונומטריות עליכם ליצור משולשים ישרי זווית בטרפז באמצעות קווי עזר, ורק אז להשתמש בטריגונומטריה.
2) להכיר את התכונות הכלליות של סוגי הטרפזים השונים.

טרפז כללי
טרפז כללי מורכב מארבע צלעות ששתיים מבינהם מקבילות ושתיים לא. שתי הצלעות המקבילות נקראות בסיסים ושתי הצלעות הנוספות שוקיים.

לטרפז כללי שתי תכונות :

1) זוויות הנמצאות על אותו שוק שוות ל – 180 מעלות (נובע המשפט שאומר שזוויות חד צדדיות בין ישרים מקבילים משלימות ל – 180).
2) כאשר מורידים גבהים מהקוקדקים של הבסיס הקטן נוצר מלבן (נובע מהמשפט שאומר שמרובע שבו יש 3 זוויות השוות ל – 90 מעלות הוא מלבן).

תכונות טרפז

טרפז שווה שוקיים
טרפז שווה שוקיים הוא טרפז שהשוקיים שלו שוות :).

התכונות שלו כוללות את שתי התכונות של הטרפז הכללי וגם :

1) כל זוג זוויות הצמוד לבסיסים שווה. (נובע מחפיפית משולשים)
2) אלכסוני הטרפז שווים.
3) הזוויות בין האלכסונים לבסיסים שוות זו לזו (אלו הן זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים).

תכונות טרפז שווה שוקיים

טרפז ישר זווית

טרפז ישר זווית כולל את תכונות הטרפז הכללי וגם :
1) יש לו שתי זוויות ישרות (90 מעלות).
2) הגובה בטרפז שווה לשוק שיוצרת את זווית ה- 90 מעלות בטרפז.
מעגל
על מנת לפתור שאלות בטריגונמטריה הקשורות למעגל בדרך כלל תצטרכו להשתמש במשפט האומר "אנך ממרכז המעגל למיתר חוצה את את המיתר". ובכך שכל קו המחבר את מרכז המעגל עם נקודה על המעגל הוא רדיוס.

תכונות מעגל

מצולע משוכלל

מצולע שכל זוויותיו וצלעתיו שוות זו לזו הוא מצולע משוכלל.

תכונות מצולע משוכלל בעל a צלעות :

1) גודל כל זווית במצולע היא (a-2)*180):a)).
2) כל מצולע משוכלל ניתן לחסום במעגל
3) ניתן לחסום מעגל במצולע משוכלל.
תרגילים על פי כל הצורות הללו תוכלו למצוא בדף טריגונומטריה
טריגונומטריה במרחב

על מנת לפתור את שאלות בטריגונומטריה במרחב עלכם להכיר :
1) את ההגדרות הבסיסיות של יחסים בין גופים במרחב.
2) את הנוסחאות לחישוב נפח של תיבה, קוביה, מנסרה, פירמידה.
3) להכיר את התכונות של הגופים הבסיסיים במישור, כגון משולש שווה שוקיים.
הגדרות בסיסיות בהנדסת המרחב

זווית בין ישר למישור
זווית בין ישר למישור היא הזווית בין הישר להיטל של הישר על המישור.

זווית בין ישר למישור טריגונומטריה במרחב

זווית בין שני מישורים
1) שני מישורים שיש זווית בינהם הם בהכרח שני מישורים נחתכים, החיתוך בין המישורים יוצר קו ישר (אם הם לא נחתכים הם מקבילים ואז אין זווית בינהם).

2) אם מעלים מאותו קו ישר שני אנכים, כל אנך במישור אחר, אז הזווית בין שני האנכים הללו היא הזווית בין שני המישורים.

זווית בין שני משורים טריגונומטריה במרחב

 

תיבה

גוף המורכב מ – 3 זוגות של מלבנים השווים זה לזה (כל זוג שווה בתוך עצמו, אך הזוגות אינם שווים). המלבנים בתיבה מאונכים זה לזה.

 

המלבן העליון והתחתון נקראים בסיסים ואלו המלבנים הצדדיים נקראים פיאות צדדיות.

נפח תיבה : V=a*b*h

שטח פנים : שווה לסכום שטחי המלבנים. S= 2a*b + 2a*h + 2b*h

הסבר לנוסחה של שטח הפנים -

שטח ההבסיסים הוא 2a*b
שטח זוג פיאות צדדיות 2a*h
שטח זוג פיאות צדדיות נוסף 2b*h

לכן שטח הפנים הוא הסכום של כולם.
מנסרה משולשת וישרה

מנסרה משולשת – מנסרה המורכבת מבסיסים שהם משולשים ושלושה פיאות צדדיות שהם מלבנים.

מנסרה ישרה – מנסרה שבה הפיאות הצדדיות (מלבנים), מאונכים לבסיסים (משולשים).

מנסרה משולשת וישרה

שטח פנים : שווה לסכום שטח הבסיסים + שטח הפיאות הצדדיות.

נפח : שווה לשטח הבסיס כפול הגובה.

(הנוסחאות הללו מופיעות במילים ולא באותיות משום שהשטח של הבסיס מחושב בכל פעם אחרת על סוג המשולש ממנו מורכב הבסיס).
פירמידה מרובעת וישרה

פירמדה מרובעת – פירמידה שבסיסה מרובע.

פירמידה ישרה – פירמידה שהמקצעות הצדדיים שלה שווים.

פירמידה

נפח פירמידה : שטח הבסיס כפול הגובה לחלק ב – 3.
סטטיסטיקה

ממוצע

ממוצע פשוט – הדרך הבסיסית שאנו מכירים לחישוב ממוצע היא לחשב את סכום כל המספרים ולחלק במספר האיברים.

אולם כאשר מחשבים ממוצע של קבוצות זה לא יעיל ולפעמים לא אפשרי לחשב את המוצע בדרך הזו. מחשבים ממוצע על ידי מתן המשקל היחסי של קבוצה.

תרגיל
בשכבה י בבית הספר יש 3 כיתות.
בכתה י1 ממוצע הציונים הוא 80 ולומדים בה 30 תלמידים.
בכיתה י2 ממוצע הציונים הוא 84 ולומדים בה 20 תלמידים.
בכיתה י3 ממוצע הציונים הוא 72 ולומדים בה 40 תלמידים.

מה הממוצע הציונים של התלמידים בשכבה י ?

פתרון

(30*80 + 84*20 + 72*40) : 90 = 77.33

תשובה : הממוצע של תלמידי כיתה י הוא 77.33.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. (*) שדות חובה מסומנים

תגי HTML מותרים: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>