פונקציות

בדף זה תמצאו קישורים לדפים שונים בנושא פונקציות.

פונקציות בחטיבת הביניים

1. פונקציות כיתה ז.
2. פונקציה קווית (כיתה ח).
3. פונקציה ריבועית (כיתה ט).

פונקציות 3 יחידות

1. פונקציית פולינום 803.
2. פונקציה רציונלית 803.

פונקציות 4 יחידות

1. פונקציית פולינום.
2. פונקציה רציונלית.
3. פונקציית שורש.
4. פונקציות טריגונומטריות.
5. פונקציה מעריכית.
6. פונקציה לוגריתמית.

פונקציות ומשיק

1. מציאת משוואת משיק בנקודה.
2. מציאת נקודת השקה על פי שיפוע המשיק.
3. הוכחה כי ישר משיק לפונקציה.
4. שאלות משיק עם פרמטרים.

פונקציות 5 יחידות

1. פונקציית שורש.
2. פונקציות טריגונומטריות.
3. פונקציה מעריכית.
4. פונקציה לוגרתמית.

פונקציות נוספות

1. פונקציה זוגית.
2. פונקציה אי זוגית.
3. נקודת פיתול.
4. הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת.

נושאים קשורים

1. נגזרת – סוגים שונים של נגזרות.
2. נגזרת מורכבת.
3. משוואת משיק.
4. תחום הגדרה.
5. אסימפטוטה אנכית.
6. אסימפטוטה אופקית.
7. אינטגרלים.

סיכום מושגים בנושא פונקציות

בחלק זה נעבור על המושגים המרכזיים בנושא פונקציות ונסביר בקצרה מה המשמעות של כל אחד מיהם.

תחום הגדרה

תחום הגדרה הוא ערכי ה x שניתן להציב במשוואת הפונקציה והמשוואה תישאר תקינה מבחינה מתמטית.

f (x) = -x²
זו פונקציה המוגדרת לכל x.

ולעומת זאת
f (x) = √x
זו פונקציה המוגדרת רק עבור x > 0 כי ביטוי הנמצא בתוך שורש ריבועי חייב להיות גדול מ – 0.

והפונקציה

מוגדרת כאשר x ≠ 1.
כי כאשר x = 1 המכנה שווה 0 וזה לא מוגדר במתמטיקה.

תחומי עליה וירידה

פונקציה עולה כאשר מעלים את ערכי ה x וגם ערכי ה y עולים.
פונקציה יורדת כאשר מעלים את ערכי ה x וערכי ה y יורדים.

מבחינה גרפית:
אם מסתכלים על גרף הפונקציה משמאל לימין והפונקציה עולה אז הפונקציה עולה.
ואם הגרף יורד אז הפונקציה יורדת.

• הסבר מפורט כיצד למצוא תחומי עליה וירידה בפרבולה.

נקודות קיצון

נקודת קיצון היא נקודה שבה לפונקציה יש את הערך הגבוה / הנמוך ביותר היחס לסביבה הקרובה שלה.
בנקודה זו הפונקציה משנה את הכיוון של מעליה לירידה, ואז זו נקודת מקסימום.
או מירידה לעליה ואז זו נקודת מינימום.

• הסבר מפורט כיצד למצוא נקודת קיצון בפרבולה.

נקודות חיתוך עם הצירים

נקודת חיתוך של פונקציה עם ציר ה x מתקבלת כאשר מציבים f (x) = 0 במשוואת הפונקציה.
נקודת חיתוך עם ציר ה y מתקבלת כאשר מציבים x =0 במשוואת הפרבולה.

למשל עבור הפונקציה f ( x) = x² – 4x.

נציב f (x) =0 ונמצא את נקודות החיתוך עם ציר ה x.
x² – 4x = 0
x (x – 4) = 0
x = 0 או x = 4.
נקודות החיתוך הן: (0, 4)  (0,  0).

נציב x = 0 ונמצא את נקודות החיתוך עם ציר ה y.
f (0) = 0² – 4*0 = 0
נקודת החיתוך היא (0, 0).

• עוד בנושא נקודת חיתוך של פרבולה עם הצירים.

תחומי חיוביות ושליליות

הפונקציה חיובית כאשר היא נמצאת מעל ציר ה x ושלילית כאשר היא נמצאת מתחת לציר ה x.
לכן על מנת לדעת תחומי חיוביות ושליליות אנו חייבים לדעת את נקודות החיתוך עם ציר ה x.
בנקודות החיתוך בלבד הפונקציה יכולה לעבור מחיוביות לשליליות ולהפך.

אין קשר בין תחומי עליה וירידה לבין תחומי חיוביות ושליליות.

נסתכל על גרף הפונקציה f ( x) = x² – 4x.
שמצאנו בסעיף הקודם שנקודת החיתוך של הפונקציה הם (0, 4)  (0,  0).

פונקציה זו חיובית (מעל ציר ה x) כאשר:
x > 4  או  x < 0.

הפונקציה שלילית (מתחת לציר ה x) כאשר:
x < 4 וגם x > 0.

עוד באתר:

• בגרות במתמטיקה 3 יחידות.
• בגרות במתמטיקה 4 יחידות.
• בגרות במתמטיקה 5 יחידות.