טריגונומטריה

בדף זה קישורים למידע מקיף על נושאים שונים בתחום הטריגונומטריה +  מידע בסיסי על השימוש בפונקציות הטריגונומטריות

נושאים בטריגונומטריה

נושאים ל 3,4,5 יחידות

1. היכרות עם הפונקציות הטריגונומטריות.
2. מציאת צלע – כיצד למצוא זווית במשולש ישר זווית.
3. שימוש במחשבון בטריגונומטריה.
4. מציאת זווית – כיצד למצוא זווית במשולש ישר זווית.
5. טריגונומטריה במשולש ישר זווית (דף קשה יותר).
6. טריגונומטריה במשולש שווה שוקיים.
7. טריגונומטריה במרובעים.

נושאים ל 4-5 יחידות

(הנושאים הם המשך לקישורים הקודמים).

1. טריגונומטריה: הבע באמצעות a.
2. משפט הסינוסים.
3. משפט הקוסינוסים.
4. חישוב שטח משולש על פי צלעות והזווית בינהן.
5. שטח מקבילית טריגונומטריה.
6. זהויות טריגונומטריות.
7. משוואות טריגונומטריות.
8. טריגונומטריה במרחב.
9. תיבה טריגונומטריה.
10. פירמידה מלבנית טריגונומטריה.

קישורים לדפים על פי שאלונים

1. טריגונומטריה שאלון 182 (לשעבר 801 – 3 יחידות).
2. טריגונומטריה שאלון 381 (לשעבר 802 – 3 יחידות).
3. טריגונומטריה במרחב 3 יחידות.
4. טריגונומטריה 4 יחידות.
5. טריגונומטריה במרחב 4 יחידות.
6. טריגונומטריה 5 יחידות.
7. טריגונומטריה במרחב 5 יחידות.

 

בהמשך הדף סיכום הנושאים המרכזיים בטריגונומטריה ופתרונות מלאים לשאלות מהבגרות.

הגדרת הפונקציות הטריגונומטריות

הפונקציות הטריגונומטריות מקשרות בין גדלים של זוויות במשולש לגדלים של צלעות במשולש. כלומר מאפשרות לנו למצוא גודל של זווית על פי גודל הצלעות וגודל של צלעות על פי גודל הזווית ומידע נוסף.

בשלב ראשון ההתייחסות היא למשולש ישר זווית בלבד.

פונקציית הסינוס – sin a

סינוס של זווית מבטא את היחס שבין הניצב שמול הזווית לייתר.

• תרגילים המשתמשים בפונקציית סינוס.

פונקציית קוסינוס – cos a

קוסינוס של זווית מבטא את היחס שבין הניצב שליד הזווית לייתר.

• תרגילים המשתמשים בפונקציית קוסינוס.

פונקציית הטנגס – tg a

טנגס של זווית מבטא את היחס שבין הניצב שמול הזווית לניצב שליד הזווית.

• תרגילים המשלבים את שלושת הפונקציות הטריגונומטריות סינוס קוסינוס טנגס.
• תרגילים העוסקים רק במציאת צלע או מציאת זווית בעזרת הפונקציות הטריגונומטריות הללו.

מכאן והלאה חומר המתאים לתלמידי 4-5 יחידות.

חישוב שטח משולש על פי שתי צלעות והזווית שבניהן

שטח משולש שווה למכפלת שתי צלעות בסינוס הזווית שביניהן.

משפט הסינוסים

משפט הסינוסים: צלע במשולש לחלק בסינוס הזווית שמולה שווה לצלע אחרת במשולש לחלק בסינוס הזווית שמולה. וזה גם שווה לפעמיים רדיוס המעגל החוסם את המשולש.

מתי משתמשים במשפט הסינוסים ?

משתמשים במשפט הסינוסים כאשר נתונים לנו במשולש :
1) שתי זוויות וצלע
2) שתי צלעות וזווית
3) זווית ורדיוס המעגל החוסם או צלע ורדיוס המעגל החוסם.

שימו לב: בסופו של תרגיל המשתמש במשפט הסינוסים תגיעו לביטוי מהסוג:
sin X = Y
אם הפתרון של ביטוי זה הוא X=20 אז גם המשלים ל 180 מעלות הוא נכון x=60.
עליכם לבדוק אם שני האפשרויות יכולות להתקיים על פי תנאי השאלה.
דוגמה מספרית:
sin X= 0.5
X=30 ויש גם את האפשרות X=150.
עליכם לבדוק אם שתי האפשרויות מתאימות לתנאי השאלה.

• תרגילים ומידע נוסף על משפט הסינוסים.

משפט הקוסינוסים

משפט הקוסינוסים מאפשר למצוא בעזרת 2 צלעות במשולש וקוסינוס הזווית שביניהן את גודל הצלע השלישית. כמו משפט פיתגורס רק במשולש שאינו ישר זווית.
על פי המשפט צלע בריבוע שווה לצלע בריבוע ועד צלע בריבוע פחות פעמיים מכפלת הצלעות (שאינם הצלע) כפול קוסינוס הזווית שביניהן.

עוד באתר:

1. גיאומטריה – מדרך מקיף לצורות שונות. תאוריה ותרגילים.
2. בגרות במתמטיקה 4 יחידות – תיאוריה ותרגילים לנושאי השאלונים.

דוגמאות לשאלות בטריגונומטריה מתוך בגרויות

שאלון 804 קיץ 2016 מועד ב שאלה 5

נתונים
AD ו CE תיכונים הנפגשים בנקודה M.
AD=12, CE=9 ס"מ.
CMD=40∠

1.  סעיף א. ? =MC, MD.
   נקודת המפגש של התיכונים מחלקת את התיכונים ביחס של 1:2 כאשר החלק הגדול יותר קרוב לקודקוד.
   לכן אם AM=X אז MD=2X.
   AM+MD=3X=12
   X=4
   לכן  MD=4.
   EM=Y, MC=2Y
   EM+MC=3Y=9
   Y=3
   לכן MC=6.
2. סעיף ב. BC=?
   במשולש ΔCMD על פי משפט הקוסינוסים:
   (DC² = MD² + CM² -2MD*CM* COS(∠CMD
   (DC² = 4² + 6² – 4*6*2*COS (40
   DC²=16+36-48*0.766
   DC²=52-36.768
   DC²=15.232
   DC=3.9
   BC=2DC=2*3.9=7.8
   תשובה: BC=7.88 ס"מ.
3. סעיף ג. MCD∠ = ?
   על פי משפט הסינוסים במשולש ΔMCD.
   MD / sin MCD = DC / sin DMC
   sin MCD =(MD * sin DMC) / DC
   sin MCD = (4* sin 40) / 3.9
   sin MCD = 0.66
   MCD = 41.3∠ או 138.7
   138.7 אינה אפשרית משום שבמשולש מול הצלע הגדולה נמצאת הזווית הגדולה והצלע MC=6 ס"ממ וגדולה יותר מהצלע MD=4 ס"מ לכן MCD∠ לא יכולה להיות זווית קהה.
4. סעיף ד. S_ADB = ?
   MDB= 180- ∠CMD – ∠MCD∠
   98.7=180-40-41.3 – סכום זוויות ב ΔMDB שווה ל 1800 מעלות.
5. BDA=180-∠MDB=180-98.7=81.3∠ – סכום זוויות צמודות הוא 180 מעלות.
6. SADB = (BD*AD*SIN BDA) :2
   S_ADB = (3.9*12*SIN 81.3) :2
   S_ADB = (3.9*12*SIN 81.3) :2 =22.39
   תשובה: שטח המשולש הוא 22.39 סמ"ר.

חורף 2016 שאלון 804 שאלה 5

נתונים:
משולש ישר זווית ΔABC. זווית B=90∠.
CE גובה ליתר.
AD חוצה זווית.
AC=10 ס"מ.
CAB=500∠ מעלות.

א. חישוב שטח משולש CFD.
על מנת לפתור זאת עלינו למצוא צלע במשולש ΔCFD.
ולאחר מיכן נמצא גם זוויות.

1. במשולש ΔACD.
   tan 25 = CD/AC
   CD= tan 25 * AC
   CD=O.466*10=4.66
2. CAD=50/2=25∠ – מכוון ש AD הוא חוצה זווית.
3. במשולש ΔACD.
   CDA=180-90-25=65∠ – סכום זוויות במשולש הוא 1800.
4. במשולש ΔAFE
   EFA = 180-90-65=25∠ – סכום זוויות במשולש הוא 1800.
5. CFD=∠EFA=65∠ – זוויות קודקודיות שוות.
6. FC=CD=4.66 – במשולש ΔFCD מול זוויות שוות נמצאות צלעות שוות.
7. FCD=180-65-65=50∠ – סכום הזוויות במשולש ΔFCD הוא 180 מעלות.
8. S_FCD= (4.66²*sin 50) :2
   S_FCD= 16.657:2=8.32

ב. מציאת אורך הקטע FB.

1. במשולש ΔABC.
   tan 50 = BC / AC
   BC = AC * tan 50
   BC = 10 * 1.19=11.9
2. במשולש ΔCFB על פי משפט הקוסינוסים:
   FB²=CB² + FC²-2FC*CB*cos 50
   FB²=11.9²+4.66²-2*11.9*4.66*0.64
   FB²=141.61+ 21.715-70.98
   FB²=92.345
   FB=9.61

ג. חישוב הרדיוס החוסם של משולש ΔFEB.

1. משולש ΔFEB הוא משולש ישר זווית FEB=90∠.
2. FB הוא קוטר המעגל החוסם את המשולש – זווית היקפית השווה ל 90 מעלות נשענת על קוטר.
3. r=FB/2=9.61:2=4.805.